| Public Concerné |
Avoir une bonne maîtrise du calcul différentiel et intégral, des fonctions à une ou plusieurs variables. Connaître le calcul intégral classique (vecteurs propres, valeurs propres).
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Finalité de l'unité d'enseignement |
| Objectifs pédagogiques |
| Introduire à la théorie élémentaire des équations différentielles et des équations intégrales linéaires qui interviennent dans un nombre croissant de disciplines. |
| Capacité et compétences acquises |
| L'objectif visé est d'apporter aux auditeur les notions fondamentales de la dynamique non linéaire pour leur permettre d'aborder ensuite par exemple des problèmes de bifurcation et de chaos. |
Organisation |
| 6 Crédits |
Contenu de la formation |
Généralités
Espace des phases - solutions approchées et solutions exactes. Comparaison de solutions d'équations voisines. Systèmes linéarisés. Régularité des solutions - Equations variationnelles.
Systèmes linéaires
Notion de résolvante. Applications du Wronskien (Théorème de Sturm). Equations à coefficients constants. Exponentielles d'application linéaire.
Fonctions de Green
Alternative de Fredholm - Fonction de Green - Cas d'une équation auto-adjointe - Fonction de Green généralisée - Exemples de problème singulier.
Opérateurs linéaires dans les Banach, équations intégrales de Volterra
Espaces de Banach ; espaces de Hilbert et bases hilbertiennes - Espaces L2(s, ab). Opérateur linéaire et opérateur contractant dans un espace de Banach. Equations intégrales de Volterra - Equations de 1e espèce. Utilisation de transformées intégrales.
Opérateurs linéaires dans les Hilbert et Equations Intégrales de Fredholm
Opérateur adjoint. Opérateur auto-adjoint ; alternative de Fredholm. Fonctions et valeurs propres - Equation de Fredholm - Déterminants de Fredholm - Noyaux dégénérés. Opérateurs compacts auto-adjoint : théorème spectral. Equations de Fredholm à noyau symétrique de carré intégrable. |
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